Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania¶
Poniżej znajdziesz zestaw 14 zadań – po dwa dla każdej omawianej metody, dodatkowo dwa dla zupełnych z czynnikiem całkującym. Podpowiedzi są ukryte i można je rozwinąć klikając w tytuł.
🔹 Zmiennych rozdzielonych¶
Zadanie 1
\(
\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{1 + y^2}
\)
Pokaż rozwiązanie
Rozdzielamy:
\(
\frac{1 + y^2}{y} dy = x dx
\)
\(
\int \left(1 + \frac{1}{y^2}\right) dy = \int x dx \Rightarrow y - \frac{1}{y} = \frac{x^2}{2} + C
\)
Zadanie 2
\(
\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{y}
\)
Pokaż rozwiązanie
Rozdzielamy: \( y dy = e^x dx \Rightarrow \int y dy = \int e^x dx \Rightarrow \frac{y^2}{2} = e^x + C \)
🔹 Liniowe jednorodne¶
Zadanie 3
\(
\frac{dy}{dx} + 2y = 0
\)
Pokaż rozwiązanie
Czynnik całkujący: \( \mu(x) = e^{2x} \)
\(
\frac{d}{dx}(y e^{2x}) = 0 \Rightarrow y e^{2x} = C \Rightarrow y = C e^{-2x}
\)
Zadanie 4
\(
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = 0
\)
Pokaż rozwiązanie
\(\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x\)
\(
\frac{d}{dx}(x y) = 0 \Rightarrow xy = C \Rightarrow y = \frac{C}{x}
\)
🔹 Liniowe niejednorodne¶
Zadanie 5
\(
\frac{dy}{dx} + y = \cos x
\)
Pokaż rozwiązanie
\( \mu(x) = e^x \)
\(
\frac{d}{dx}(y e^x) = e^x \cos x \Rightarrow y = e^{-x} \int e^x \cos x dx
\)
Całkowanie przez części:
\(
y = \frac{e^{-x}}{2}(e^x \sin x + \cos x) + C e^{-x}
\)
Zadanie 6
\(
\frac{dy}{dx} + y = x^2
\)
Pokaż rozwiązanie
\( \mu(x) = e^x \)
\(
\frac{d}{dx}(y e^x) = x^2 e^x \Rightarrow y = e^{-x} \int x^2 e^x dx
\)
(Całkowanie przez części — pomijamy)
🔹 Zupełne i z czynnikiem całkującym¶
Zadanie 7
\(
(2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy = 0
\)
Pokaż rozwiązanie
Warunek zupełności spełniony ✅
\(
\frac{dM}{dy} = 2x + 2y = \frac{dN}{dx}
\)
\(
F(x, y) = x^2y + xy^2 = C
\)
Zadanie 8
\(
(3x + 4y)dx + (4x + 6y)dy = 0
\)
Pokaż rozwiązanie
Sprawdzamy zupełność:
\(
\frac{dM}{dy} = 4 \text{ oraz } \frac{dN}{dx} = 4 \Rightarrow \text{zupełne ✅}
\)
\(
F(x, y) = 3x^2/2 + 4xy + 3y^2 = C
\)
Zadanie 9
\(
(y + 2x)dx + x dy = 0
\)
Pokaż rozwiązanie
Niezupełne. Mnożymy przez \(\mu = \frac{1}{x}\):
\(
\left(\frac{y}{x} + 2\right) dx + dy = 0
\)
Teraz zupełne: \(F(x, y) = y + 2x + \ln|x| = C\)
Zadanie 10
\(
(y - x)dx + (x - 2y)dy = 0
\)
Pokaż rozwiązanie
Niezupełne. Znajdujemy czynnik \(\mu = \frac{1}{y^2}\) (przykładowy) lub transformujemy do rozdzielnych. Rozwiązanie po przekształceniu: \( \frac{dy}{dx} = \frac{y - x}{x - 2y} \Rightarrow \text{zmienne rozdzielone} \)
🔹 II rzędu liniowe jednorodne¶
Zadanie 11
\(
y'' - 3y' + 2y = 0
\)
Pokaż rozwiązanie
Równanie charakterystyczne: \( r^2 - 3r + 2 = 0 \Rightarrow r = 1, 2 \Rightarrow y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} \)
Zadanie 12
\(
y'' + y = 0
\)
Pokaż rozwiązanie
Równanie charakterystyczne: \( r^2 + 1 = 0 \Rightarrow r = \pm i \Rightarrow y = C_1 \cos x + C_2 \sin x \)
🔹 II rzędu liniowe niejednorodne¶
Zadanie 13
\(
y'' - y = e^x
\)
Pokaż rozwiązanie
Rozwiązanie ogólne to suma rozwiązania jednorodnego i szczególnego: \( y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x} \) Zgadujemy postać szczególnego: \(y_p = Ax e^x\) \( y_p' = Ae^x + Axe^x, \quad y_p'' = 2Ae^x + Axe^x \) Podstawiamy: \( y'' - y = (2Ae^x + Axe^x) - Axe^x = 2Ae^x = e^x \Rightarrow A = \frac{1}{2} \) \( y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + \frac{1}{2}x e^x \)
Zadanie 14
\(
y'' + 4y = \cos 2x
\)
Pokaż rozwiązanie
Rozwiązanie jednorodne: \( r^2 + 4 = 0 \Rightarrow r = \pm 2i \Rightarrow y_h = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x \) Prawej stronie odpowiada szczególne: \(y_p = Ax \cos 2x + Bx \sin 2x\) (z powodu rezonansu) Po podstawieniu i porównaniu współczynników: \( y_p = -\frac{1}{8}x \sin 2x \) \( y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x - \frac{1}{8}x \sin 2x \)