Przykład
Rozwiążmy równanie: $$ (3x^2 + 6xy^2)\,dx + (6x^2y + 4y^3)\,dy = 0 $$
Identyfikujemy funkcje Mamy: $$ P(x, y) = 3x^2 + 6xy^2 $$ $$ Q(x, y) = 6x^2y + 4y^3 $$
Obliczamy pochodne cząstkowe: $$ \frac{dP}{dy} = 12xy $$ $$ \frac{dQ}{dx} = 12xy $$ $$ \frac{dP}{dy} = \frac{dQ}{dx} $$ Zatem warunek zupełności jest spełniony.
Znajdujemy funkcję pierwotną \(F(x, y)\):
Całkujemy \(P(x, y)\) względem \(x\):
$$
\int (3x^2 + 6xy^2) \, dx = x^3 + 3x^2y^2 + h(y)
$$
Wyznaczenie \( h(y) \)
Obliczamy pochodną \(F(x, y)\) względem \(y\):
$$
\frac{dF}{dy} = 6x^2y + h'(y)
$$
Porównujemy z \(Q(x, y)\):
$$
6x^2y + h'(y) = 6x^2y + 4y^3
$$
$$
h'(y) = 4y^3
$$
$$
\int h'(y) = y^4
$$
Zapisujemy rozwiązanie ogólne $$ F(x, y) = x^3 + 3x^2y^2 + y^4 = C $$
Ostateczne rozwiązanie równania: $$ x^3 + 3x^2y^2 + y^4 = C $$ $$ (3x^2 + 6xy^2)dx + (6x^2y + 4y^3)dy= 0 $$