Przykład
np. $$ y'' -4y = e^2x $$ Szukamy rozwiązania ogólnego równania liniowego jednorodnego: $$ y'' -4y = 0 $$ Podstawiamy \( y = e^{\alpha x} \), wtedy: $$ \alpha^2 - 4 = 0 $$ Zatem: $$ \alpha^2 = 4 $$ $$ \alpha_1 = 2, \quad \alpha_2 = -2 $$ Rozwiązaniem równania ogólnego jednorodnego będzie: $$ y = C_1e^{2x} + C_2 e^{-2x} $$ Krotność \(\beta\) wynosi 1 więc przewidywane rozwiązanie równania szczególnego niejednorodnego będzie postaci:
Obliczamy pierwszą pochodną \( y^* \):
$$
(y^*)' = a \cdot e^{2x} + 2a \cdot x \cdot e^{2x}
$$
Obliczamy drugą pochodną \( y^* \):
Podstawiamy \((y^*)''\) oraz \(y^*\) do naszego równania \( y'' -4y = e^2x \) i wyliczamy z niego wspólczynnik a.
Otrzymujemy \(a=\frac{1}{4}\), więc \(y^*\) jest postaci:
Ostatecznym rozwiązaniem ogólnym równania liniowego niejednorodnego II-go rzędu jest: $$ Y = y + y^* = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x} + \frac{1}{4}xe^{2x} $$ 🔙 Powrót do opisu