Opis

Równanie różniczkowe I-go rzędu zupełne¶

to równanie postaci:
$$ P(x,y) + Q(x,y)\frac{dy}{dx} = 0, $$ w którym funkcje P(x,y) i Q(x,y) są ciągłe w pewnym obszarze D i takie, że: $$ P(x,y)dx + Q(x,y)dy $$ jest różniczką zupełną pewnej funkcji dwóch zmiennych F(x,y) określonej w obszarze D, w każdym punkcie tego obszaru zachodzą związki: $$ \frac{dF}{dx} = P(x,y), \frac{dF}{dy} = Q(x,y) $$ Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie było różniczką zupełną w tym obszarze, jest spełnienie równości: $$ \frac{dQ}{dx} = \frac{dP}{dy}, $$ Jeśli ten warunek jest spełniony w pewnym obszarze $ D \subset \mathbb{R}^2 $, to istnieje funkcja $ F(x, y) $, której różniczka daje wyjściowe równanie.

Jeśli zachodzi: $$\frac{dQ}{dx} \neq \frac{dP}{dy}, $$ to warunek nie jest spełniony i wyrażenie nie jest różniczką zupełną. Może istnieć jednak taka funkcja $ \mu(x, y) $ w rozpatrywanym obszarze, że jeśli pomnożymy przez nią obie strony równania, to otrzymane w ten sposób równanie: $$ \mu(x,y) P(x,y) + \mu(x,y) Q(x,y)\frac{dy}{dx} = 0 $$ jest już równaniem zupełnym.

🛠️ Rozwiązywanie¶

Sprawdzamy warunek zupełności: $$ \frac{dQ}{dx} = \frac{dP}{dy} $$

✅ Jeśli warunek jest spełniony:¶

Znajdujemy funkcję pierwotną $ F(x, y) $, taką że: $$ \frac{dF}{dx} = P(x, y)$$
Całkujemy względem $x$
Dodajemy funkcję $ h(y) $ jako „stałą całkowania”
Różniczkujemy wynik względem $ y $, aby określić $ h(y) $ na podstawie $ Q(x, y) $

❗ Gdy warunek zupełności nie jest spełniony:¶

Próbujemy przekształcić równanie do postaci zupełnej przez mnożenie przez czynnik całkujący $ \mu(x, y) $
Czynnik $\mu$ powinien zależeć tylko od $x$ lub tylko od $y$, aby uprościć poszukiwania
Po przemnożeniu sprawdzamy, czy nowe funkcje $ \mu P $ i $ \mu Q $ spełniają warunek zupełności: $$ \frac{d(\mu Q)}{dx} = \frac{d(\mu P)}{dy} $$
Jeśli tak, możemy rozwiązać tak jak równanie zupełne

Ostateczne rozwiązanie ma postać:¶

\[ F(x, y) = C \]

Przejdź do praktyki: zobacz przykład