Opis

Jeżeli równanie różniczkowe jest postaci:
$$ y'' + p \cdot y' + q \cdot y = f(x) $$ to postępujemy według schematu:

Znajdujemy rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego II-go rzędu (opis), czyli
$$ y'' + p \cdot y' + q \cdot y = 0 $$
wyznaczamy rozwiązanie szczególne $y^*$ równania liniowego niejednorodnego II-go rzędu
rozwiązaniem ogólnym równania liniowego niejednorodnego II-go rzędu będzie suma rozwiązania ogólnego jednorodnego II-go rzędu i rozwiązania szczególnego niejednorodnego II-go rzędu, a więc $$ Y = y + y^* $$

Rozwiąznie szczególne równania liniowego niejednorodnego II-go rzędu- czyli $y^*$ - wynaczamy metodą przewidywania. W naszym kursie zajmiemy się przypadkiem, kiedy $f(x)$ z naszego równania do rozwiązania jest postaci: $$ f(x) = e^{\beta x} \cdot P_n(x) $$ wobec czego, przewidywane $y^*$ będzie wyglądało nastepująco: $$ y^* = x^k e^{\beta x} W_n(x) $$ gdzie k - to krotność $\beta$ w równaniu charakterystycznym. Zobaczmy to na przykładzie