Opis

Jeżeli równanie różniczkowe jest postaci:
$$ y'' + p \cdot y' + q \cdot y = 0 $$
to stosujemy podstawienie \(y = e^{\alpha x}\) i otrzymujemy:
$$ \alpha^2 \cdot e^{\alpha x} + p \cdot \alpha \cdot e^{\alpha x} + q \cdot e^{\alpha x} = 0 $$
dzielimy obustronnie przez \(e^{\alpha x}\) i otrzymujemy równanie:
$$ \alpha^2 + p \cdot \alpha + q = 0 $$ zwane równaniem charakterystycznym.

Następnie obliczamy \(\Delta = p^2 - 4q\)
Jeżeli:

• otrzymamy \(\Delta >0\), to \(\alpha_1 = \frac{-p-\sqrt{\Delta}}{2}\), \(\alpha_2 = \frac{-p+\sqrt{\Delta}}{2}\), a rozwiązaniem ogólnym równania II-go rzędu liniowego jednorodnego jest $$ Y=C_1 \cdot e^{\alpha_1 x} + C_2 \cdot e^{\alpha_2 x} $$
• otrzymamy \(\Delta =0\), to \(\alpha_1 = \alpha_2= \frac{-p}{2}\), a rozwiązaniem ogólnym równania II-go rzędu liniowego jednorodnego jest $$ Y=C_1 \cdot e^{\alpha x} + C_2 \cdot x\cdot e^{\alpha x} $$
• otrzymamy \(\Delta < 0\), to \(\alpha_1 = \frac{-p}{2}-\frac{\sqrt{-\Delta}}{2}i\), \(\alpha_2 = \frac{-p}{2}+\frac{\sqrt{-\Delta}}{2}i\), a rozwiązaniem ogólnym równania II-go rzędu liniowego jednorodnego jest $$ Y=e^{\alpha x} \cdot (C_1 \cdot cos\beta x + C_2 \cdot sin\beta x), $$ gdzie \(\alpha = \frac{-p}{2}\), a \(\beta = \frac{\sqrt-\Delta}{2}\)
  Zobacz przykład