Opis

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych¶

to równanie, które można zapisać w postaci:
$$ y' = f(x) \cdot g(y) $$ Można w nim oddzielić zmienne, pogrupować y na lewo, x na prawo, pamiętając, że y' = dy/dx : $$ \frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y) $$ teraz dzielimy przez g(y) i mnożymy przez dx, otrzymujemy : $$ \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx $$ całkujemy obustronnie $$ \int \frac{dy}{g(y)} \ = \int f(x)\,dx $$ Obliczamy całki i tak przekształcamy równanie, żeby uzyskać postać y = H(x) + C.
Rozwiązaniem będzie rodzina funkcji y = H(x) + C, różniąca się stałą C, czyli tzw. rozwiązanie ogólne.
Jeżeli w zadaniu będzie podany warunek poczatkowy Cauchy'ego y(x0) = y, to podstawiając go do równania ogólnego otrzymamy rozwiązanie szczególne.

🔸 Aby zastosować tę metodę:¶

funkcje $g(y)$ i $f(x)$ muszą być ciągłe,
$g(y) \neq 0$ w dziedzinie rozwiązania,
da się wyodrębnić $dy$ i $dx$ po przeciwnych stronach.

📘 Interpretacja geometryczna¶

Wartości $ \frac{dy}{dx} $ można traktować jako nachylenia stycznych do wykresu funkcji $y(x)$. Rozdzielenie zmiennych pozwala „rozłożyć” to nachylenie na składniki zależne od $x$ i $y$, co umożliwia łatwiejszą analizę i rozwiązanie równania.

Czas na praktykę: zobacz przykład